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点线对称问题
来 源:   时 间:2010/11/22 10:24:26  浏览数:
点线对称问题
瓯海二高   翁德旺
教材版本:普通高中课程标准实验教科书,数学必修2第三章直线与方程,本课为该章内容的一个专题课。
教学设计:
【教材分析】
本节课教学内容“点线对称问题”是人教版数学(必修2)第三章直线与方程,是在学生学习了本章内容的延续和拓展,又是下一章圆与方程内容中要用到的知识内容。求点关于直线对称后的点的坐标,在求距离、最值等方面有广泛的应用。这对培养学生的转化意识、发展学生的思维能力,掌握数学的基本思想方法都具有十分重要的意义。
【教学目标】
1、知识和技能:正确理解点线对称问题的含义及对称点的求法,会利用对称点来解决相关的最值问题;培养学生的转化能力、分析能力,树立化归的思想方法。
2、过程与方法:通过求对称点过程的推导,提高学生应用中点公式的能力,结合数形提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标:通过精心设计适宜的教学情境,让学生在师生和谐、互动的氛围中,愉快地、自然地、主动地探究新知识。
【教学重点与难点】
重点:掌握点关于直线对称后点的坐标的求法及相关应用;
难点:点线对称在最值问题中的应用。
【教学过程设计】
一、创设情景,导入课题
问题1:求点P(2,1)关于点A(-1,3)对称的点Q的坐标?
变式:求点P(x0,y0)关于点A(-1,3)对称的点Q的坐标?
小结:点P(x0,y0)关于点A(a,b)对称的点Q的坐标为(2a-x0,2b-y0).
设计意图:以点关于点对称为知识背景,让学生明白P、A、Q三点的位置关系,即点A为点P、Q的中点。既复习了中点公式,又为下面根据中点公式求解点关于线对称作了铺垫。
二、联想类比、拓展研究
问题2:求点P(2,1)关于x轴对称的点Q的坐标?
变式1:求点P(2,1)关于y轴对称的点Q的坐标?
变式2:求点P(2,1)关于原点对称的点Q的坐标?
小结:点P(x0,y0)关于x轴、y轴、原点对称的点Q的坐标分别为:
(x0,-y0) 、(-x0,y0)、 (-x0,-y0).
设计意图:将问题1拓展、延伸到问题2,先不去直接求一般情况下的点线对称问题,而是将直线特殊化,为下面问题的一般化作了铺垫,分解了难度,无意中让学生在知识层面上上了一个台阶。体现了从简单到复杂、从特殊到一般地思想方法。教师引导学生画图,从图中找出点与对称点间的关系。
例1、求点P(2,1)关于直线对称的点Q的坐标。
设计说明:教师引导学生画图,从图中找出点、线、对称点三者间的位置关系,P、Q两点所在直线与已知直线的位置关系。找出相应的位置关系后,再去引导学生用已学知识进行解答。学生分组进行讨论交流,通过联想类比、归纳、推导,再各组派出代表阐明讨论结果。教师针对学生回答中存在的问题,适时点拨、引导,归纳。师生共同完成例题,如何书写解题过程,保留板书,让学生在解决练习时可以去模仿、参考。
练习:求点P(2,1)关于直线l:x-2y+1=0对称的点Q的坐标。
设计说明:练习的设计一方面为了加深对利用中点公式和两直线垂直其斜率之积等于-1的运用;另一方面让学生领会其中体现出来的一种重要的数学基本思想方法——数形结合。
小结:让学生总结解决点线对称问题所用到的知识点和一般解题思路。
例2、(1)已知点A(1,2)、B(4,-3),在x轴上找到一点P,使|AP|+|BP|最小,求点P的坐标;
(2)已知点A(1,2)、B(4,3),在x轴上找到一点P,使|AP|+|BP|最小,求点P的坐标;
(3)已知点A(1,2)、B(4,3),在直线x-y=0上找到一点P,使|AP|+|BP|最小,求点P的坐标.
练习:将例题中的x轴改成y轴,将|AP|+|BP|改成|AP|-|BP|等变式问题让学生模仿练习;再进行小结。
例3、求直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0对称的直线的方程?
思维点拨:线线对称问题可以转换成点线对称问题,先让学生思考,充分激发学生的思考的积极性,通过画图,可以求两直线的交点,再在直线x+2y-1=0上任取不同于交点的点,通过直线x-y+2=0求得对称点,用两点求直线即为对称后的直线方程。
例4、求直线x+2y-1=0关于点P(2,1)对称的直线的方程?
思维点拨:线点对称问题可以转换成点关于点对称问题,学生通过画图,较容易找到解决问题的方法,即在直线x+2y-1=0上任取不同的两点,通过点P(2,1)求得对称后的点,再用此两点求得直线即为对称后的直线方程。
设计意图:通过设置例3、例4加深学生对对称问题的认识和落实,不管是直线关于直线对称还是直线关于某点对称都可以转化为点线对称问题,提高学生对数学问题的转化和归纳的能力。
三、总结归纳,布置作业
教师方面:引导学生从知识、思想、方法上对本节课进行总结,先让学生自己总结,教师再补充。
学生:让学生自己小结,不仅仅总结知识,更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程,是一个整合的过程,是一个高层次的自我认识过程,这样可以帮助学生自行构建知识体系,理清知识脉络。
教学实录:
下面是两位教师在同题课《点线对称问题》课上的教学片段:
实录1 甲教师的教学片段:
……
例1、求点P(2,1)关于直线对称的点Q的坐标。
教师:点P、Q关于直线对称有何特点?
学生:点P、Q的中点在直线上,且点P、Q所在的直线与直线垂直。设点Q则有   解得,Q .
练习:求点P(2,1)关于直线l:x-2y+1=0对称的点Q的坐标。
教师给出练习,大部分学生都在动笔计算,一个学生叫了出来,“其实不用这么麻烦的,直接代入反解计算就行了”,但没有人在乎这一意外的“发现”。过了五、六分钟,等同学们辛辛苦苦算出答案,教师进行讲解时,这位同学又发话了,“老师,直接代入反解更快呀。”对于这位同学的二度发言,再也不能置之不理了。
教师:看来你有新的发现了,具体说说你的想法吧。
学生:比如例子中,只要将x=2代入直线方程x-y+1=0,得到y=3;同理,将y=1代入,得x=0,即(0,3)为Q的坐标。
话音刚落,下面的同学发出了一阵阵地窃窃私语声,有的皱着眉头若有所思,有的连连点头,肯定该同学的发现。
教师:很好!(予以赞赏)可惜这只是个特例,并不是对所有的问题都适用,那你的练习答案是多少?
学生:将x=2代入x-2y+1=0,得y= y=1代入x-2y+1=0,得x=1,所以Q的坐标是(1,)。
这时同学们愣了,因为他们算出的答案是。
教师:看来这种直接代入反解并不是对所有问题都适用。
学生一片哗然!
教师:这种方法对于直线的斜率为±1的时候适用。
教师并没有做过多的说明,继续展开了早已设计好的教学活动,……
实录2 同样在给出求对称点的例题,学生思考回答对称的性质,师生共同完成求解过程;给出练习学生模仿解题方法,在此过程中也有学生提出了直接代入反解的方法,以下是乙教师的处理过程:
……
教师:非常好,你的发现很有价值,利用这种简便的方法,可以提高我们的解题速度。
听了这位同学的发言后,有的表示赞赏,并用这种方法算出了练习答案;有的则表示怀疑,觉得可能是凑巧吧。
学生:老师这种解法只是凑巧罢了,用这种解法算出练习的答案是错误的。
教师:哦?真的吗?看来这种解法,存在着争议,到底对不对呢?
同学们也奈闷:为什么用这种简便的方法能得到例题的正确答案,而对于练习来说得到的答案是错误的呢?
教室里一片寂静!
教师:哪位同学能解释一下?
学生陷入深思之中,也迫切需要知道什么时候能用,教师随即抓住了学生的求知欲望。
教师:任何一种特殊的方法,都有它的适用范围。这种方法虽然不是对所有的问题都适用,却是一种很好的解题方法,同学们可以好好地利用这种方法。那什么时候能用,什么时候不能用呢?
教师并没有给出结论,也没有中止学生的思维,而是任下面的同学展开讨论,过了几分钟。
学生:我们觉得也许跟直线的斜率有关吧?
教师:对,很好!如果直线的斜率为0或不存在时,可以直接求得对称点;如果直线斜率不为0且存在时,可设直线方程为,利用这两种方法求得相应的结果,使它们相等,可解出成立时斜率的值是多少,即为这种方法能适用的情况。
师生共同投入到解决这个疑惑的中去,并得出结论:在直线斜率为±1时可以直接代入求得,在斜率为0或不存在时也可以直接求得,除了这四种情况外,则用求对称点的一般方法求解。
……
课后反思:
1、开设同题课的目的是什么?
这是两堂同题课,开设同题课的目的在于:从这两堂看似一样的课中,去发现他们的共同点与不同点,在某些环节上的不同处理及其产生相应的不同效果,以寻求更加合理,更加适合学生实际的课堂教学方式。
应该说,这两堂课从教师方面来说,甲教师对于课堂中的意外发言,虽然也关注了,予以肯定,也指出了反例,并用一句话概括了,在直线斜率为±1的时候成立;但未真正加以重视,给学生的影响是不深刻的,再说这也是本堂课的一个高潮所在,如果能把握好这个高潮,即使不能真正实施课前的设计方案,也是一堂“闪光的”课。教师乙虽然没有把课前设计好的内容讲完,在推导这一结论时花去了十来分钟的时间,把原本完整的一堂课上成了一堂不完整的课,但也正是这十来分钟的时间,把师生合作推向了高潮。
2、同题课应关注些什么内容?
我们通过同题课研究,可以发现在某个问题上(也可以去研究在某个点的处理上),不同的处理方法会导致不同的结果,甚至有时会产生完全相反地结果,这时就需要我们去反思:如何去选择教学方法,哪种更符合学生的实际。
案例1中的这个结论是由教师直接告诉学生的,在这一教学过程中缺乏了学生的积极参与,学生的思维没有充分展开,学生只是被动地接受知识,最多也只能是运用教师所传授的知识去解决问题,对该知识缺乏探索,从这一点上讲,学生的思维是封闭的。
教师乙的处理方法正是根据课堂的实际情况及时调整课的内容,优化了教学过程,为学生创设具有探究欲的问题环境,充分暴露了学生的思维过程,不断培养学生学习的积极性和主动性,真正体现了新课程所提倡的:一切以学生的发展为主,学生是学习的主人。教师能够起到质疑解惑,揭示本质的作用,从而促进学生认知结构的发展;学生的认知能力从外部形成,而只能由学生自身的发展来决定。
我们要改变教学课上只有教师讲、学生听的被动教学方式,不但要重视自己的教学过程,也应重视学生的学习过程、思维过程,也只有这样,才能使学生的主体性得到真正的体现。
3、如何处理课堂中的一些意外发言?
课堂教学实践经验告诉我们:在教学过程中确实存在着一些教师在备课中没有想到或者没有准备到的创新思路或方法。因此,在教学中,我们要善待学生的意外发言,认真听取学生的发言,并及时激励学生的创新行为,认真反思和调整自己的教学设计,因势利导进行教学,提高教学水平。对于一些有意义地、有利于学习发展的意外发言,我们要及时捕捉并加以引导落实,甚至不惜牺牲一些宝贵的时间加以重视,不可断然否定或轻描淡写地一语带过,不能一味地依照自己已有的教学设计,按部就班地机械教学,应发扬教学民主,积极鼓励学生发言,并能根据学生的发言,灵活机智地调整教学设计,使学生真正成为学习和探索的主人!
课例点评:
只要是在教学一线,就会常遇到这样的事情:当教学活动正在教师的指导下朝着预设的方向前进时,突然有位学生冒出一句不在教学设计之内,但又十分有创意的意外发言。若对这个意外提问给予重视,评价肯定,抓住其合理成分施教,势必打乱整个教学设计;若断然否定,置之不理,或搪塞过关,不但会轻易错过一个难得的适合学生思维发展与创新的教学契机,而且还会严重挫伤学生的积极性和创造性,真是进退两难,特别是在公开课上!此时此刻,你该何去何从?笔者结合以上两堂《点线对称问题》课,初步给出了笔者个人对该问题的态度和看法。
 
 
 
 
(此文获2009年温州市高中新课程优秀课例评比三等奖)
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